內積與外積

內積: 

• $\vec a\cdot\vec b=\vert\vec a\vert\times\vert\vec b\vert\times\cos\theta$
• 若$\vec a=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec b=(x_2,y_2,z_2)$，則$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
• 交換律:$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$
• 結合律:$(k\vec a)\cdot(t\vec b)=(kt)\vec a\cdot\vec b$
• 分配律:$(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$

求長度:$\vert \vec a\vert=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}$

求夾角:$\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\vert\vec a\vert\times\vert\vec b\vert}$

三角形面積:$\dfrac{1}{2}\sqrt{\vert\vec a\vert^2\vert\vec b\vert^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}$

正射影:$(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\vert\vec b\vert^2})\vec b$

科西不等式:

$(\vec a\cdot\vec b)^2\le\vert\vec a\vert^2\vert\vec b\vert^2$

$(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2\le(x_1^2+y_1^2+z_1^2)(x_2^2+y_2^2+z_2^2)$

等號成立時:$\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2}$

---

外積:

• $\vert\vec a\times\vec b\vert=\vert\vec a\vert\times\vert\vec b\vert\times\sin\theta$
• $\vec a\times\vec b$與$\vec a$、$\vec b$垂直
• $\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a$
• 分配律:$\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c$
• 結合律:$(p\vec a)\times(q\vec b)=(pq)\vec a\times\vec b$
• 若$\vec a\parallel\vec b$，則$\vec a\times\vec b=\vec 0$

若$\vec a=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec b=(x_2,y_2,z_2)$，$\vec a$外積$\vec b$為

$\vec a\times\vec b=(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix})$

三角形面積:$\dfrac{1}{2}\vert\vec a\times\vec b\vert$

平行六面體體積:$V_六=\vert\vec a\times\vec b\vert\times\vert\vec c\vert\times\vert\cos\phi\vert=\vert(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\vert$

四面體體積:$V_四=\dfrac{1}{6}\vert(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\vert$