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內積與外積

內積: 

  • ab=|a|×|b|×cosθ
  • a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2),則ab=x1x2+y1y2+z1z2
  • 交換律 : ab=ba
  • 結合律 : (ka)(tb)=(kt)ab
  • 分配律 : (a+b)c=ac+bc

求長度 : |a|=aa

求夾角 : cosθ=ab|a|×|b|

三角形面積 : 12|a|2|b|2(ab)2

正射影 : (ab|b|2)b

科西不等式:

(ab)2|a|2|b|2

(x1x2+y1y2+z1z2)2(x21+y21+z21)(x22+y22+z22)

等號成立時 : x1x2=y1y2=z1z2


外積:

  • |a×b|=|a|×|b|×sinθ
  • a×bab垂直
  • a×b=b×a
  • 分配律 : a×(b+c)=a×b+a×c
  • 結合律 : (pa)×(qb)=(pq)a×b
  • ab,則a×b=0

a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2)a外積b

a×b=(|y1z1y2z2|,|z1x1z2x2|,|x1y1x2y2|)

三角形面積 : 12|a×b|

平行六面體體積 : V=|a×b|×|c|×|cosϕ|=|(a×b)c|

四面體體積 : V=16|(a×b)c|

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